Jonathan. Frech’s WebBlog

Dig­it Sums (#219)

Jonathan Frech,
Interessant war es auch, drei aufeinanderfolgende Zahlen zu nehmen, von denen die größte durch drei teilbar sein musste, sie zu addieren und aus dem Ergebnis so lange die Quersumme zu bilden, bis eine einstellige Zahl übrig blieb. Diese Zahl war immer sechs.

Jack Reacher’s at most tangentially to interpreting the sergeant’s reply related base ten factoid’s formal form is

$$\forall n\in\mathbb{N}^+:\mathrm{fds}_{10}\left(\sum\limits_{j=0}^2 3\,n-j\right)=6,$$$$\forall n\in\mathbb{N}^+:\mathrm{fds}_{10}\left(\sum\limits_{j=0}^2 3\,n-j\right)=6,$$$$\forall n\in\mathbb{N}^+:\mathrm{fds}_{10}\left(\sum\limits_{j=0}^2 3\,n-j\right)=6,$$

where $\mathrm{fds}_{10}$$\mathrm{fds}_{10}$$\mathrm{fds}_{10}$ represents the final dig­it sum in base ten.

A proof of the above claim to­geth­er with the underlying dig­it sum results is presented in dig­it-sums.pdf⁠¹ (source: dig­it-sums.tex).

[1][2021-02-11] On the third page on the fourth line, $n=\sum_{j=0}^ka_j\cdot b^i$$n=\sum_{j=0}^ka_j\cdot b^i$$n=\sum_{j=0}^ka_j\cdot b^i$ should read $n=\sum_{j=0}^ka_j\cdot b^j$$n=\sum_{j=0}^ka_j\cdot b^j$$n=\sum_{j=0}^ka_j\cdot b^j$. On the ninth line, $\in N$$\in N$$\in N$ should read $\in\mathbb{N}$$\in\mathbb{N}$$\in\mathbb{N}$.